Volume

Diện Tích Mặt Của Vật Thể Tròn Xoay

(Máy bạn cần có Java Runtime Environment (JRE) để sử dụng phần mềm GraphFunc applet trong trang web này)

Chúng tôi đưa ra một số thí dụ về tìm diện tích mặt của vật thể tròn xoay trên hệ Đề-Các, hàm cực và hàm tham số. Sau đó chúng tôi dùng phần mềm GraphFunc để kiểm chứng lại kết quả. (Mục đích của phần này nhằm giúp người đọc tìm hiểu chức năng mà GraphFunc hỗ trợ trong việc tính diện tích mặt của vật thể tròn xoay).

Diện Tích Mặt Trên Hệ Đề Các

Diện tích mặt của vật thể trọ̀n xoay được tạo ra khi ta xoay đường cong y = f(x) quanh trục x (hay trục y. Trong bài này chúng tôi chỉ xét xoay quanh trục x) trên đoạn x = a và x = b được xác định bởi công thức sau đây:

Thí Dụ 1. Tìm diện tích mặt được tạo bởi khi xoay đường y = x quanh trục x trên đoạn .

Giải:

Áp dụng công thức (I), ta có:

( = 71.08612701053…)

Dùng phần mềm GraphFunc trực tuyến để kiểm chứng lại đáp án ở trên theo các bước sau đây:

Bạn hãy vào trang web: http://viet.seriesmathstudy.com (bạn phải đợi một lát trong lúc applet tải về máy bạn.)

Chọn mục vẽ đồ thị Ba Chiều từ hộp kéo .
Nhập biểu thức của hàm số x vào ô có nhãn hiệu f(x,y) = .
Nhấn nút Vẽ Hàm! để vẽ đồ thị.
Chọn trục x-axis từ hộp kéo có nhãn hiệu Xoay Quanh để xoay đồ thị quanh trục x.
Nhập giá trị x = 0 và x = 4 vào nhãn hiệu Từ và Tới.
Nhấn nút Diện Tích Mặt để tính diện tích mặt xoay tròn có giá trị x đi từ 0 tới 4. Ta thấy kết quả đuợc miêu tả Hình 1.

Hình 1.

Thí Dụ 2. Tìm diện tích mặt tạo bởi khi xoay đường cong quanh trục x trên đoạn.

Giải.

Đạo hàm. Do đó, thế giá trị đạo hàm tìm được này vào (I), ta có:

Áp dụng tích phân , ta có:

( = 7.9876494805994…)

Dùng phần mềm GraphFunc trực tuyến để kiểm chứng kết quả trên. Ta làm theo các bước chỉ dẫn trong Thí Dụ 1 và thu được kết quả như miêu tả theo Hình 2.

Hình 2.

Diện Tích Mặt Của Vật Thể Xoay Tròn Trên Hệ Cực

Diện tích mặt của vật thể được tạo ra khi ta xoay đường congquanh trục(hay trục x) với góctới được xác định bởi công thức:

Chú ý: Nếu đường cong trên quay quanh trục(hay trục y), thì công thức của diện tích mặt xoay là:

Thí Dụ 3. Tìm diện tích mặt tạo bởi khi xoay đường congquanh trụcvới góctới.

Giải:

Áp dụng công thức (II) với, ta có:

(= 12.5663706143591...)

Dùng phần mềm GraphFunc trực tuyến để kiểm chứng đáp án theo các bước sau đây:

Vào trang web http://viet.seriesmathstudy.com. Bạn đợi một lát để applet tải về máy bạn.

Chọn mục vẽ ba chiều 3 Chiều từ hộp kéo .
Chọn chế độ Hàm Tọa Độ Cực từ hộp kéo Hàm Tọa Độ Đề Các.
Nhập biểu thức hàm số 2*sin(t) (dùng t là biến số thay cho).
Bấm nút Vẽ Hàm! để vẽ đồ thị.
Chọn trục x-axis thừ hộp kéo có nhãn hiệu Xoay Quanh để xoay hàm số theo trục x-axis.
Nhập giá trị x = 0 và x = pi/2 vào nhãn hiệu Từ và Tới.
Bấm nút Tìm Diện Tích Mặt để tính diện tích mặt xoay tròn vớiđi từ 0 tới pi/2. Ta thấy kết quả đuợc miêu tả Hình 3.

Hình 3.

Diện Tích Mặt Tròn Xoay Của Hàm Tham Số

Nếu một đường cong liên tục C được tạo bởi x = f(t) và y = g(t) trên đoạn, thì diện tích mặt tròn xoay S được hình thành do xoay đường cong C quanh trục x tính theo công thức:

Thí Dụ 4. Tìm diện tích mặt tạo bởi khi xoay các đường x = t và y = 2t quanh trục x với t = 0 tới t = 4.

Giải

Áp dụng công thức (III) với g(t) = 2t, and , ta có:

Dùng phần mềm GraphFunc trực tuyến để tính diện tích mặt, và kết quả được miêu tả như trong Hình 4. Chú ý: Ta cần phải chọn mục Hàm Tham Số từ hộp kéo Tọa Độ Đề Các để đổi chế độ vẽ đồ thị.

Hình 4.