Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Dăy Số

Công Thức Tính Số Thập Phân Của Hằng Số ln2

(ln2 = 0,69314718055994530941723212…)

Hàm số Lôgarit là hàm ngược của hàm số mũ [1*]. Trong toán học có những lúc phải đối diện với việc tính toán những con số rất lớn và việc tính toán sẽ gặp khó khăn. Chính vì lẽ đó mà Lôgarit đã ra đời. Theo lịch sử toán học, người phát minh ra phương pháp Lôgarit đầu tiên là ông Joost Burgi ngưòi Thụy sĩ nhưng ông không xuất bản. Người xuất bản nó lại là John Napier người Scotland. Phần lớn Lôgarit dùng bấy giờ theo cơ số 10. Từ khi môn Giải tích hình thành thì Logarit tự nhiên ký hiệu ln (hay log đối với một số nước khác) với cơ số e tự nhiên có giá trị gần bằng 2,71828… Cơ số tự nhiên e sau này là hằng số e trong toán học và người ta đã chứng minh giá trị của nó vừa là số vô tỷ và là số siêu việt. Lôgarit tự nhiên đóng vai trò rất quan trọng trong toán học. Nó hình thành rất nhiều công thức trong tích phân, vi phân, các phương trình vật lý, hoá học, điện và các ngành khoa học khác. Dựa vào tính chất của cơ số e mà người ta đã chứng minh rằng Lôgarit tự nhiên của bất kỳ số nào, ví dụ như ln2, ln3, ln7, …, cũng đều là số vô tỷ và là số siêu việt! Như vậy những số thập phân của Lôgarit tự nhiên cũng cần chú ý không khác chi các số thập phân của hằng số Pi. Muốn tính chính xác được số thập phân của Lôgarit tự nhiên của số nào đó, ví dụ như ln2, người ta phải đi tìm các công thức có các cấu trúc đặc biệt của dãy số sao cho nó hội tụ về số đó rất nhanh và chính xác với nhiều số thập phân.

Cũng giống như hằng số Pi, Lôgarit của những số nguyên cũng được chú ý từ khi khoa Giải Tích được hình thành. Để đi tìm công thức có cấu trúc đặc biệt tính các số thập phân của Lôgarit các sô nguyên hay thực, người ta cần định nghĩa hàm số Lôgarit theo Giải tích như sau:

Từ định nghĩa trên và áp dụng cách triển khai của Taylor trong Giải tích, công thức tính ln2 được biểu diễn theo dạng dãy số là:

(biểu thức này không đúng cho giá trị x = -1)

Công thức trên đã được nhà toán học Nicolas Mercator người Đức tìm ra vào năm 1668. Công thức này cũng giống như công thức hàm ngược(hay arctan x) dùng để tính Pi của Leibniz người Đức khám phá ra năm 1646, xem bài Pi. Khi ta thế giá trị x = 1, ta tìm được ln2 ở dạng dãy số như sau:

Với biểu thức trên khi ta cho k lên tới 1000, thì giá trị chính xác tính được của ln2 chỉ đúng có hai con số thập phân vì tổng các con số khi cộng lại của dãy số này hội tụ về ln2 rất chậm. Người ta mới đi tìm các dạng dãy số khác sao cho khi k bằng 1 hoặc bằng 2 mà đã tính được ln2 chính xác tới bảy hay tám số thập phân rồi. Phần này sẽ bàn tiếp trong phần công thức có dạng BBP dưới đây. Để tiếp phần trên nếu ta cho x = -1/2, thì biểu thức dãy số hội tụ về ln2 có phần nhanh hơn vì có cơ số 2 hiện hữu ở mẫu số trong biểu thức dưới đây:

(Dùng phương pháp tính thông thường thì giá trị chính xác của ln2 thu được 13 số thập phân khi cho k từ 1 tới 40).

Cũng giống như trường hợp tính Pi, người ta cũng tìm ra được các công thức Machin để tính ln2. Thay vì dùng hàm ngược, thì người dùng hàm ngược hyperbolic(hay arctanh x). Sau đây là một ví dụ về công thức Machin:

Ta kết hợp với công thức Machin và công thức triển khai Taylor, ta có thể tính giá trị ln2 chính xác rất nhiều số thập phân. Vì các cơ số trong biểu thức Machin này khá lớn đã làm cho sự hội tụ của dãy số về ln2 rất nhanh khi k tiến từ 1 đến số lớn.

Phần trình bày ở trên là cách mà các nhà toán học dùng để tính các số thập phân của những hằng số Logarit của các số nguyên từ khi Lôgarit ra đời đến gần đây. Người ta thường để ý đến các công thức dãy số mà chỉ có chứa các số nguyên thì càng tốt trong việc tính các số thập phân của hằng số. Người ta không thích các dãy số có chứa các hằng số khác trong biểu thức đi chung với k vì sẽ làm việc tính toán sẽ bị sai lệch và không chính xác vì lẽ họ phải tính thêm hằng số phụ. Khi mà công thức BBP tính Pi ra đời, thì lập tức các dạng công thức BBP cho các hằng số ln2 hay các hằng số khác cũng được tìm thấy. Điểm mấu chốt của các công thức dạng BBP là không phải nhớ các giá trị đã tính trước đó để cộng với giá trị hiện có khi mà k đang xê dịch từ vị trí k ban đầu cho đến các giá trị lớn khác sau đó. Hiện nay người ta đã tìm ra cũng khá nhiều các công thức dãy số cho các hằng số thuộc dạng BBP. Gần đây nhà toán học Baley đã tìm thấy công thức ln2 có “sức hội tụ” rất nhanh, ấy là:

Một công thức khác tìm thấy [2*] có liên quan tới ln2:

Tại website (2*) có công thức tính ln2:

Cũng tại website [3*] này, có một công thức cho ln2 được tìm thấy với các cơ số của các số hạng trong dãy số rất lớn và dãy số hội tụ về ln2 cực nhanh. Công thức đó là:

Chú ý cơ số

Công thức trên khi cho k = 0 cũng cho chính xác của ln2 đến mấy chục con số thập phân. Bây giờ thử “nhẩm” cho k = 1 và quan sát xem có bao nhiêu số thập phân của ln2 chính xác thêm nữa.

Ngày 21 tháng 11 năm 2006.

[1*] Người ta gọi các hàm số sau đây là các hàm số sơ cấp cơ bản:

Hàm số hằng: (R thuộc về tập hợp số thực).

Hàm số lũy thừa:

Hàm số mũ:

Hàm số logarit:

Hàm số lượng giác: y = cosx, y = sin x, y = tg x (hay dùng ký hiệu y=tan x), y = cotg x (hay y = cot x).

Hàm số lượng giác ngược: y = arcos x, y = arcsin x, y = arctg x, y = arccotg x.

Hàm số sơ cấp là hàm số cho bởi một công thức duy nhất y = f(x) với f(x) là tổng, hiệu, tích, thuơng hoặc hợp của một số hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản khác.

[2*] Tham khảo đường dẫn này http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html

[3*] Xem đường dẫn: www.seriesmathstudy.com và http://www.seriesmathstudy.com/log2.htm

Mọi ý kiến xây dựng và bài vở xin liên lạc dothi@seriesmathstudy.com.

Trở về Toán Trực Tuyến