Số Kaprekar

Số Kaprekar được khám phá bởi nhà toán học D.R.Kaprekar người Ấn độ vào năm 1949. Số Kaprekar thỏa mãn các tính chất sau: Chọn một số N có n chữ số và bình phương số đó, rồi lấy n số bên tay phải của số vừa được bình phương cộng với số còn lại bên tay trái của nó. Nếu kết quả cộng lại bằng chính số N đã chọn, thì số N đó gọi là Kaprekar.

Ví dụ:

1. Chọn số 45 (tức là N = 45 và có n=2 chữ số) và bình phương của số này là 2025. Lấy hai số sau cùng của 2025 và cộng cho 20 ta được: 25+20 = 45.

2. Chọn số 55 và bình phương của số này là 3025. Lấy hai số sau cùng của 3025 và cộng cho 30 ta được: 25+30 = 55.

3. Chọn số 703 (có n=3 chữ số) và bình phương của số này là 494209. Lấy ba số sau cùng của 494209 và cộng cho 494 ta được: 209+494 = 703.

Một vài số mẫu của số Kaprekar:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, …

Ở phần trên cho thấy phép cộng sau khi bình phương. Sau đây là số kỳ lạ 6174 hay còn gọi là hằng số Kaprekar được tìm thấy nếu thực hiện phép trừ. Hãy chọn một số có 4 chữ số (1*) bất kỳ và sau đó hoán vị số vừa chọn theo làm hai phần: Số lớn dần và nhỏ dần, đoạn trừ cho nhau. Phần hiệu số đó cũng làm lại theo bước ở trên cho đến khi kết quả cho ra một con số không đổi, đó là 6174.

Ví dụ:

Chọn số 7285 có 4 chữ số sau đó hoán vị các số này theo hai số lớn dần và nhỏ dần như 7852 và 2578. Đoạn trừ hai số này cho nhau:

7852 – 2578 = 5274

Hoán vị số 5274 thành hai số 7452 và 2457 và hai số này cho nhau:

7452-2457 = 4874

Cũng làm tiếp theo tiến trình ở trên, ta có:

8744 – 4478 = 4266

6642 – 2466 = 4176

7641 - 1467 = 6174

7641 – 1467 = 6174

Đến đây ta thấy kết quả lặp lại con số 6174.

---

(1*) Những con số giống nhau như 9999, 8888, vân vân thì không thỏa mãn.