Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Dăy Số

Tìm Giá Trị Cực Tiểu Và Cực Đại Của Đồ Thị Hàm Số

Phần này sơ lược về lý thuyết giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số f(x) được xác định trong khoảng (a, b). Tiếp đến là đưa ra phương pháp tìm gía trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Sau cùng là trình bày một số ví dụ minh họa và dùng phần mềm GraphFunc để kiểm chứng kết quả.

Lý thuyết về giá trị cực tiểu và cực đại: Cho một hàm số f(x) được xác định trong khoảng (a,b) và c là một điểm nằm trong khoảng này.

1. f(c) đạt cực tiểu của f(x) nếucho mọi x trong khoảng (a,b). Trong trường hợp nầy, điểm N(c, f(c)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

2. f(c) đạt cực đại của f(x) nếucho mọi x trong khoảng (a,b). Trong trường hợp nầy, điểm N(c, f(c)) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. [1*]

3. Trong trường hợp hàm số f(x) đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm c thì điểm c gọi là điểm cực trị của hàm số còn f(c) gọi là giá trị cực trị của hàm số. [2*]

Để một hàm số f(x) có điểm cực trị thì đạo hàm của f(x) phải bằng không, tức là tiếp tuyến tại các giá trị cực trị luôn cùng phương với trục hoành. Nhưng đây mới chỉ là điều kiện cần và chưa đủ để hàm số f(x) đạt được điểm cực trị tại điểm mà có đạo hàm của f(x) bằng 0. Ví dụ ta xét hàm sốkhông có điểm cực đại hay cực tiểu tại điểm x = 0 mặc dù đạo hàm của hàm số này bằng 0 tại điểm đó. Muốn biết điểm cực trị của hàm số f(x) là cực đại hay cực tiểu tại điểm mà đạo hàm f(x) = 0, ta có hai cách:

Một là xét dấu giá trị của đạo hàm cấp một f(x) bằng cách lập bảng biến thiên [3*]. Nếu thấy có thay đổi từ âm sang dương, ngụ ý cho biết điểm đó thuộc cực tiểu hoặc dấu của nó thay đổi từ dương sang âm, ngụ ý là điểm cực đại.

Hai là xét dấu của đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). Nếu tại điểm cực trị mà đạo hàm cấp 2 luôn dương, ngụ ý cho biết hàm số cực tiểu tại điểm đó; ngược lại thì thuộc về cực đại. Trường hợp dấu của đạo hàm cấp 2 thay đổi, thì điểm đó là điểm uốn.

Ví dụ minh họa

1. Tìm cực đại và cực tiểu nếu có của hàm số .

Cách 1.

Đạo hàm: .

Giải. Tại điểm x = -1, y = 10; x = 3, y = -22.

Và tìm giới hạn.

Lập bảng biến thiên:

Cách 2.

Đạo hàm cấp 1: .

Giải. Tại điểm x = -1, f(-1) = 10; x = 3, f(3) = -22.

Và .

Đạo hàm cấp 2: f”(x) = 6x – 6.

Tại điểm x = -1, f”(-1) = -12 < 0 (luôn âm) cho cực đại; tại điểm x = 3, f”(3) = 12 > 0 (luôn dương) cho cực tiểu.

Vậy kết luận cho cả hai cách: Tại điểm (-1, 10) hàm số đạt cực đại và tại điểm (3, -22) hàm số đạt cực tiểu.

Dùng phần mềm GraphFunc vẽ đồ thị và kiểm chứng các giá trị cực trị

Ta cần điền hàm số f(x) theo cú pháp x^3 –3*x^2 –9*x + 5 vào khung gõ tại nhãn hiệu f(x)= trên phần mềm GraphFunc. Sau đó bấm nút Graph It! để vẽ. Đồ thị của hàm số f(x) được vẽ hiển thị bên tay trái. Dựa vào đồ thị, ta có thể thấy ngay cực đại và cực tiểu. Muốn xác định giá trị của các cực trị này ta phải dùng chức năng Function trong phần mềm. Ta làm thao tác này như sau: Từ chức năng Function trên hộp kéo của GraphFunc, ta chọn Extremum. Đưa con chuột bấm vào gần các đỉnh của đồ thị hàm số, giá trị của cực trị sẽ được xác định và hiển thị. Xem Hình 1, ta thấy giá trị cực đại mà GraphFunc tự động tính được khi đưa con chuột tới và bấm vào những chỗ gần đỉnh là x = -1,000000000001462 và tại điểm này f(x) = 10,0. Chú ý giá trị đạo hàm cấp 1 của nó rất nhỏ coi như gần bằng 0 và giá trị đạo hàm cấp 2 là –12,00000000000772, coi như bằng –12. Tương tự, ta làm giống thao tác vừa nói trên cho trường hợp xác định giá trị cực tiểu, ta thu được kết quả x = -3 và f(x) = -22,000000000000004. Xem Hình 2.

Hình 1: Tại điểm x = -1, hàm số đạt cực đại và có giá f(-1) = 10.

(ta thấy GraphFunc tự động xác định giá trị x = -1,000000000001462, coi như bằng –1)

Hình 2: Tại điểm x = 3, hàm số đạt cực tiểu và có giá trị là f(3) = -22.

(ta thấy GraphFunc tự động xác định giá trị x = 3,000000000003935, coi như bằng 3)

Vậy, GraphFunc có chức năng (Extremum) giúp tìm các giá trị cực trị của đồ thị hàm số f(x).

Ngày 25 tháng 11 năm 2006.

Mọi ý kiến xây dựng và bài vở xin liên lạc dothi@seriesmathstudy.com.

Trở về Toán Trực Tuyến

[1*] Trong toán học tiếng Việt đã thành lập chuẩn cho một số tên gọi, nhưng đôi khi vẫn làm cho người đọc nhầm lẫn các tên gọi. Cần phân biệt: điểm cực tiểu x=c của hàm số f(x), giá trị cực tiểu f(c), và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (c, f(c)). Hy vọng sau này, tên gọi được rút ngắn nữa!

[2*] Một hàm số f(x) có thể có một hay nhiều điểm cực trị trong khoảng đang xét hoặc không có điểm cực trị nào.

[3*] Phương pháp lập bảng biến thiên là theo hệ thống và cách giải của Pháp hay Âu châu.

[*] Sách tham khảo:

Calculus Early Transcendental Functions, tác giả Larson-Hostetler-Edwards, năm 1999.

Calculus in Action, tác giả James Ẹ White, năm 2004.

[*] Tài liệu tiếng Việt: Tạm thời tham khảo tiếng Việt tại http://vi.wikipedia.org, xem đường dẫn:

http://vi.wikipedia.org/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch